欧几里得公式证明

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先说结论:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:

写出式子:a = b*q + a mod br = a mod b

① 假设d是(a,b)的一个公约数,则

d|a且d|b,而r = a - kb,因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

② 假设d是(b,a mod b)的公约数,则

d|b且d|r ,但是a = kb + r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

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欧几里得公式证明
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作者
ischanx
发布于
2020年6月8日
更新于
2022年6月12日
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